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場合によっては、その構造は表面的には無関係に見えるので、圏同値は有用である; つまりある定理を異なる数学的構造の定理に翻訳できることがある。 もしある圏が別の圏の双対圏と圏同値ならば、ふたつの圏は双対同値と言い、圏双対について論じることができる。 圏同値は圏の間の「可逆な」関手から成る。
の分割をなす.この分割,同値類たちの集合,を S の ∼ による商集合 (quotient set) あるいは商空間 (quotient space) と呼び,S/∼ と表記する. 集合 S が(群演算や位相のような)構造を持ち,同値関係 ∼ がこの構造と適切に両立するように定義されているとき,商集合はしばしばもとの集合
上の2つの同値関係 ~, ≈ が a ~ b ならば a ≈ b を任意の a, b ∈ S に対して満たすとき、同値関係 ≈ は ~ より粗い (coarser) または弱いといい、~ は ≈ より細かい (finer) または強いという。 同値類の言葉で言えば ~ が ≈ より細かい(強い)とは、~
代数学において、森田同値(もりたどうち、英: Morita equivalence)とは、環論的な多くの性質を保つ環の間の関係のことを言う。これはMorita において同値関係と双対性に関する記号を定義した森田紀一にちなんで名付けられた。 環はその環上の加群を通じて研究されることが一般的